Chúng ta đã được học về khái niệm 2 tam giác đồng dạng trong chương trình toán lớp 8. Bạn có còn nhớ định nghĩa, tính chất và phương pháp chứng minh tam giác đồng dạng đã học năm lớp 9? Cùng ôn lại kiến thức về 2 tam giác đồng dạng cùng những ví dụ minh họa cụ thể về hai tam giác đồng dạng.
2 tam giác đồng dạng là gì?
Khái niệm hai tam giác đồng dạng
2 tam giác đồng dạng khi nào? Hai tam giác đồng dạng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ nhau.
*Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường
Tam giác đồng dạng là:
- Hai tam giác có 3 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau là tam giác đồng dạng (cạnh-cạnh-cạnh).
Ví dụ minh họa:
Xét △ABC và △A’B’C’, ta có:
= 
⇾△ABC ~ △A’B’C’ (C-C-C)
- Hai tam giác có 2 cặp góc tương ứng bằng nhau là tam giác đồng dạng. (góc-góc).
Ví dụ minh họa:
Xét △ABC và △A’B’C’, ta có:
=⇾
=
⇾△ABC ~ △A’B’C’ (C-G-C)
- Hai tam giác có 2 cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với góc xen giữa 2 cặp cạnh ấy bằng nhau là tam giác đồng dạng. (cạnh-góc-cạnh).
Ví dụ minh họa:
Xét △ABC và △A’B’C’, ta có:
=; 
=
⇾△ABC ~ △A’B’C’ (G-G)
Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường
*Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
Định lí 1 : Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng.
Ví dụ minh họa:
Giả thiết: △ABC và △A’B’C’, ==90०; 
=
Kết luận: ⇾△ABC ~ △A’B’C’
Định lí 2 : Nếu 2 cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với 2 cạnh góc vuông của tam giác kia thì 2 tam giác này đồng dạng. (hai cạnh góc vuông)
Ví dụ minh họa:
Giả thiết: △ABC và △A’B’C’, ==90०; 
=
Kết luận: ⇾△ABC ~ △A’B’C’
Định lí 3: Nếu góc nhọn của tam giác vuông này bằng với góc nhọn của tam giác vuông kia thì 2 tam giác đó đồng dạng. (góc)
Giả thiết: △ABC và △A’B’C’, ==90०
=⇾△ABC ~ △A’B’C’
Tính chất tam giác đồng dạng là gì?
Từ 2 tam giác đồng dạng, ta suy ra được:
-Tỉ số 2 đường phân giác, 2 đường cao, 2 đường trung tuyến, 2 bán kính nội tiếp và ngoại tiếp, 2 chu vi tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng với tỉ số đồng dạng.
-Tỉ số diện tích của 2 tam giác đồng dạng bằng với bình phương tỉ số đồng dạng.
Cách chứng minh 2 tam giác đồng dạng
Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức
Bài toán: Cho △ABC(AB<AC), AD là đường phân giác. Miền ngoài △, vẽ tia Cx sao cho 
= 
Gọi I là giao điểm của Cx vs AD. Chứng minh rằng:
- a) △ADB∼△CDI
- b) AD.AC=AB.AI
c)AD²= AB.AC – BD.DC
a)∆ADB và ∆CDI , ta có= : (gt)
⇾
= 
(đối đỉnh) => ∆ADB ~ ∆CDI
- b) ∆ABD và ∆AIC , ta có :
= 
(∆ADB ~ ∆CDI); 
= 
(AD là phân giác)
=> ∆ABD ~ ∆AIC => ADAC’=ABAI⇾AD.AI = AB.AC (1)
- c) Có
=
; (∆ADB ~ ∆CDI ) => AD.DI = BD.CD (2) từ (1) và (2) : AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD²
-Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet và 2 đường thẳng song song
Bài toán:
Cho ∆ABC nhọn, đường cao BD, CE. Kẻ 2 đường cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh:
- a) △ADB∼△AEG
- b) AD.AE = AB.AG = AC.AF
- c) FG // BC
- a) Xét ∆ABD và ∆AEG, ta có :
BD⊥AC (BD là đường cao)
EG⊥AC (EG là đường cao)
Suy ra: BD // EG
Suy ra: △ADB∼△AEG
- b) Từ a) Suy ra AB/AE=AD/AG
⇒ AD.AE = AB.AG (1)
CM tương tự, ta được : AD.AE = AC.AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
AD.AE = AB.AG = AC.AF
- c) Xét tam giác ABC, ta có :
AB.AG = AC.AF (cmb) suy ra: AB/AF=AC/AG
Suy ra: FG // BC (Talet đảo)
-Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau
Bài toán: Cho △ABC có 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:
- a) △HBE∼△HCE
- b) △HED∼△HBC
và ΛHDE= ΛHAE
- a) Xét △HBE và △HCD, ta có :
ΛBEH= ΛCDH=90∘ (gt)
H1= H2 (đối đỉnh)
Suy ra: △HBE∼△HCD (g – g)
- b) Xét △HED và △HBC, ta có :
HE/HD=HD/HC(△HBE∼△HCD)
Suy ra: HE/HD=HD/HC
ΛEHD= ΛCHB(đối đỉnh)
Suy ra △HED∼△HBC(c – g – c)
Suy ra: D1= C1(1)
Lại có: đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)
Do đó H là trực tâm => AH⊥BC tại M.
Suy ra A1= ABC=90∘
Mặt khác : C1= ABC=90∘
Suy ra: A1= C1 (2)
Từ (1) và (2) => A1= D1
hay: ΛHDE= ΛHAE
Tổng hợp các phương pháp chứng minh 2 tam giác đồng dạng lớp 8
Phương pháp 1: Hai tam giác được coi là đồng dạng với nhau nếu chúng có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và các góc tương ứng tỉ lệ.
Phương pháp 2: Định lý Talet: Đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt 2 cạnh còn lại thì nó vạch ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
Phương pháp 3: Chứng minh các điều kiện cần và đủ để 2 tam giác đồng dạng: 2 tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng. 2 tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng. 2 tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, hai góc xen giữa hai cặp cạnh này bằng nhau thì đồng dạng.
Phương pháp 4: Chứng minh TH 1 (cạnh-cạnh-cạnh): Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác này đồng dạng.
Phương pháp 5: Chứng minh TH 2 (cạnh-góc-cạnh): Nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì 2 tam đó giác đồng dạng.
Bài tập chứng minh tam giác đồng dạng toán 8 có đáp án
Chứng minh 2 tam giác đồng dạng. Cho ΔABC cân tại A; BC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy 2 điểm D và E trên AB; AC sao cho DME= B
- a) Chứng minh: ΔMBD ∽ ΔCME
- b) Chứng minh: ΔMDE ∽ ΔDBM
- c) Chứng minh: BD.CE không đổi?
Bài giải:
- a) Ta có ΛDBM= ΛECM (1) và ΛDBM= ΛDCM(gt)
Mà ΛDBM+ ΛBMD+ΛMDB =180
ΛDME+ ΛBMD+ΛCME =180
Suy ra ΛMDB= ΛCME (2)
Từ (1) và (2) => ΔBDM ∽ ΔCME (g – g).
- b) Vì ΔBDM ∽ ΔCME
Nên BD/CM=DM/ME và BM = CM (giả thiết)
BD/BM=DM/MESuy ra ΔMDE ∽ ΔDBM.
- c) Vì ΔBDM ∽ ΔCME
BD/CM=BM/CE Suy ra: DB.CE=CM.BM
Mà BM=CM=BC2=a ⇒ BD.CE=a24 (không đổi)
Nếu có lỡ quên mảng kiến thức về 2 tam giác đồng dạng thì bài viết này chắc chắn sẽ giúp các bạn học sinh gợi nhớ lại bằng những hình ảnh trực quan và một số bài tập bổ trợ về tam giác đồng dạng vô cùng dễ hiểu. Chúc các bạn luôn có những giờ học Toán vui vẻ và đạt hiệu quả cao.
