Đường tròn nội tiếp tam giác là gì? Cách xác định tâm

1 Tháng Năm, 2023 0 Huongttms

Kiến thức về đường tròn, đường tròn nội tiếp tam giác chúng ta đã được học trong chương trình Toán lớp 9. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ tổng hợp kiến thức về khái niệm đường tròn nội tiếp là gì, tính chất cũng như cách xác định đường tròn nội tiếp. Nếu bạn muốn nắm chắc nền tảng kiến thức quan trọng này thì đừng bỏ qua bài viết dưới đây. 

Khái niệm đường tròn là gì?

Đường tròn (hoặc vòng tròn) là tập hợp của tất cả các điểm trên một mặt phẳng, cách đều điểm cho trước một khoảng cách nào đó. Điểm cho trước gọi đó là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước chính là bán kính của đường tròn.

Ví dụ Đường tròn có tâm O, bán kính r được ký hiệu là (O;r)

Khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác

Khi 3 cạnh của tam giác là tiếp tuyến của đường tròn và đường tròn đó nằm trong tam giác thì ta gọi đường tròn đó là đường tròn nội tiếp tam giác (hay ta còn nói rằng tam giác ngoại tiếp đường tròn)

Nói một cách đơn giản hơn, đường tròn nội tiếp của một tam giác chính là đường tròn nhỏ nhất nằm trong tam giác; nó tiếp xúc với cả 3 cạnh của tam giác. Tâm của đường tròn nội tiếp chính là giao điểm của 3 đường phân giác trong.

Tính chất đường tròn nội tiếp tam giác

Bất kỳ một đa giác đều nào cũng có duy nhất 1 và chỉ 1 đường tròn nội tiếp 

  • Mỗi một tam giác chỉ có duy nhất 1 và chỉ 1 đường tròn nội tiếp.
  • Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác chính là giao điểm giữa 3 đường phân giác của tam giác đó. Bởi vậy, bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm hạ vuông góc xuống 3 cạnh của tam giác.
Tính chất đường tròn nội tiếp tam giác

Tính chất đường tròn nội tiếp tam giác

Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Để biết được cách vẽ đường tròn nội tiếp tam giác, ta phải xác định được tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó

Tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông, tam giác tù hay tam giác nhọn chính là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác đó

Ví dụ: Quan sát và phân tích hình vẽ trên đây, ta có:

  1. ΔABC lần lượt có 3 đường phân giác là AD, BF, CG ⇒ Giao điểm của 3 đường phân giác chính là tâm O của đường tròn.
  2. Vẽ đường tròn tâm O có lần lượt các bán kính  OD = OF = OG = r

Đối với tam giác đều, đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau.

Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Ví dụ. Cho ΔABC, hãy xác định vị trí của tâm I của đường tròn nội tiếp ΔABC. Ta làm theo các bước sau đây:

  • Vẽ 3 đường phân giác trong của ΔABC (vẽ 2 đường phân giác). Ba đường phân giác lần lượt có được là AD, BE, CF.
  • Xác định giao điểm I của ba đường phân giác trong ΔABC.
  • Từ tâm I, kẻ lần lượt  3 đường vuông góc với 3 cạnh AB, AC, BC của ΔABC. 3 đường vuông góc vừa kẻ chính là bán kính của đường tròn tâm I.
  • Tiến hình vẽ đường tròn tâm I có bán kinh r = IF = IE = ID (như hình vẽ)
Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC

– Cách 1: Gọi D,E,F là chân đường phân giác trong của tam giác ABC được kẻ lần lượt từ 3 đỉnh A,B,C

+ Bước 1 : Tính độ dài các cạnh của tam giác

+ Bước 2 : Tính tỉ số k1= AB/AC; k2= BA/BC; k3= CA/CB

+ Bước 3 : Tìm tọa độ các điểm D, E, F

+ Bước 4: Viết phương trình đường thẳng AD và BE

+ Bước 5: Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC chính là giao điểm của AD và BE

– Cách 2: Trong mặt phẳng Oxy, chúng ta xác định tọa độ điểm I như sau:

2 tam giác đồng dạng là gì? Lý thuyết và bài tập về tam giác đồng dạng

Cách tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Tam giác ABC có độ dài các cạnh lần lượt là a, b, c ứng với ba cạnh BC. AC, AB.

– Tính nửa chu vi tam giác

– Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Ta có các phương trình đường tròn nội tiếp tam giác như sau:

Cách 1:

+ Viết phương trình 2 đường phân giác trong của góc A và B

+ Gọi tâm I là giao điểm của 2 đường phân giác trên

+ Tính khoảng cách từ tâm I đến một cạnh của tam giác ta xác định được bán kính

+ Viết phương trình đường tròn

Cách 2:

+ Viết phương trình đường phân giác trong của đỉnh A

+ Tìm tọa độ của chân đường phân giác trong đỉnh A

+ Gọi I là tâm đường tròn, tọa độ tâm I phải thỏa mãn hệ thức 

+ Tính khoảng cách từ tâm I đến một cạnh của tam giác

+ Viết phương trình đường tròn

Các trường hợp đường tròn nội tiếp

Đường tròn nội tiếp có thể xảy ra với bất kỳ loại tam giác nào: tam giác vuông, tam giác tù, tam giác nhọn.

Đặc biệt, nếu trường hợp tam giác đó là tam giác đều thì đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau.

Các dạng bài tập về đường tròn nội tiếp tam giác

Dạng 1: Tìm tâm của đường tròn nội tiếp khi biết tọa độ 3 đỉnh

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1;5) B(–4;–5) và C(4;-1). Tìm tâm tọa độ I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC .

Giải:

Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Giải:

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(2;6), B(-3;-4), C(5;0). Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Dạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi đã biết tọa độ 3 đỉnh

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(11; -7), B(23;9), C(-1,2). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải:

Ta có phương trình của cạnh BC: 7x-24y+55=0

Phương trình của đường phân giác góc A: 7x+y-70=0

Gọi D là chân đường phân giác trong tại đỉnh A. Tọa độ D là nghiệm của hệ:

Gọi I(a,b) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Ta có:

Vậy ta tìm được tọa độ I(10,0)

Bán kính đường tròn nội tiếp ABC là r=d(I,AB)=5

Vậy là bài viết đã giúp các bạn tổng hợp khái niệm, tính chất cơ bản, cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác cũng như các dạng bài tập về đường tròn nội tiếp liên quan,…Hy vọng bài viết có thể giúp cho các bạn có thể hiểu rõ hơn về đường tròn nội tiếp tam giác và có những chuẩn bị tốt nhất cho bài học. 

Bài viết liên quan